jueves, 26 de abril de 2018

Lógicas del siglo XX


El desarrollo de la Lógica en el Siglo XX

Formalización de las Matemáticas
Esta etapa se caracteriza por el resurgimiento de la formalización rigurosa de las matemáticas, que en la etapa clásica griega fué representativa. El uso de los infenitesimales fue una de las prácticas más notoria en la época renacentista, para la cual no se ofrecía una justificación. La rigorización del análisis llegó con la eliminación de los infinitesimales y la presencia de los límites como argumento. En este periodo se crea la lógica simbólica, la escuela formal, la lógica booleana, el cálculo proposicional, la inducción matemática, el cálculo de secuentes,…. Personajes muy notables de esta etapa son: Peano, Hilbert, Frege, Boole, de Morgan, Gentzen, Russell, Gödel y Whitehead. A Rusell y Gödel se deben los planteamientos de las limitantes de la lógica y de la ciencia en general.
·         Guiseppe Peano
La enunciación de los principios del italiano Guiseppe Peano, 1858-1932, acerca de lógica matemática y su aplicación práctica quedaron contenidos en su obra Formulaire de mathematiques. Los axiomas de Peano permiten definir el conjunto de los números naturales.
·         David Hilbert
Matemático alemán, 1862-1943, aporta grandes avances a campos fundamentales de la relatividad y la mecánica cuántica con la Teoría de Invariantes y el concepto de Espacio de Hilbert. A partir de las fuentes griegas de Euclides, publica en 1899 su obra Fundamentos de Geometría, en la que formula sus principios de axiomatización de la geometría. Según sus teorías, es necesario establecer un conjunto de postulados básicos antes de plantear de modo más detallado cualquier tipo de problema físico o matemático. Estos principios deben ser simbólicos, sin recurrir a dibujos y representaciones gráficas, y es necesario preveer la mayoría de las posibilidades con antelación. Su concepción reconocía tres sistemas de entes geométricos, puntos, rectas y planos a los que pueden aplicarse axiomas distribuidos en cinco categorías: pertenencia, orden, igualdad o congruencia, paralelismo y continuidad.
·         Friedrich G. Frege
Junto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G. Frege, 1848-1925, partiendo del análisis de los fundamentos de la matemática lleva a cabo la más profunda renovación y desarrollo de la lógica clásica hasta el momento. Es el primero en introducir los cuantificadores u operadores y en elaborar una Teoría de la Cuantificación.
·         George Boole
El lógico y matemático George Boole, 1815-1864 aplica el cálculo matemático a la lógica, fundando el álgebra de la lógica. En cierto modo realiza el sueño de Leibniz de una characteristica universalis o cálculo del raciocinio. El empleo de símbolos y reglas operatorias adecuados permite representar conceptos, ideas y razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio un método general para formalizar la inferencia deductiva, representando complicados raciocinios mediante sencillos sistemas de ecuaciones. Así, la conclusión de un silogismo se encuentra eliminando el término medio de un sistema de tres ecuaciones, conforme a las reglas del álgebra común, La formalización de la lógica, iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a aclarar la estructura de los objetos lógicos, en contraposición a los materiales y aun en contraposición a los matemáticos, pese a las analogías formales entre la matemática y la lógica, que Boole señaló. Su obra principal es Investigación de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad, 1854, que aún hoy se lee con deleite.
·         Augustus De Morgan
La mayor contribución de Augustus De Morgan (1806-1871) en el estudio de la lógica incluye la formulación de las Leyes de Morgan y su trabajo fundamenta la teoría del desarrollo de las relaciones y la matemática simbólica moderna o lógica matemática. De Morgan es autor de la mayor contribución como reformador de la lógica.
·         Georg F. Cantor
Al matemático alemán Georg F. Cantor, 1845-1918, se debe la idea del infinito continuo, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales y de los conjuntos.
·         Gentzen
El alemán Gentzen (1909-1945) formuló la prueba de la consistencia de un sistema de aritmética clásica en el cual el método no elemental es una extensión de inducción matemática a partir de una secuencia de números naturales a un cierto segmento de números ordinales transfinitos.
·         Bertrand Rusell
Bertrand Rusell (1872-1970) es uno de los creadores de la logística y uno de los pensadores de mayor influencia en la filosofía científica contemporánea. Lo fundamental en su obra es su aportación a la lógica. Antiaristotélico por excelencia llegó a afirmar que para iniciarse en lógica lo básico era no estudiar la lógica de Aristóteles. Conociendo los trabajos de Cantor descubre en la Teoría de Conjuntos varias paradojas que resuelve mediante la Teoría de los Tipos. Años más tarde establece una teoría similar, -la de la jerarquía de los lenguajes- para eliminar las paradojas semánticas. Siguiendo además de los trabajos de Cantor, a Peano y Frege, Rusell se propone fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de conceptos lógicos. Este empeño culmina con la publicación (1910-1913) de los monumentales Principia Mathematica -en colaboración con Whitehead-, obra que, además, sienta las bases de la moderna lógica formal.
·         Kurt Gödel
Kurt Gödel (1906-1978) aporta múltiples contribuciones a la lógica matemática, destacando la demostración de la consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y prueba de incompletez semántica. En Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de matemática formal establece que es imposible construir un sistema de cálculo lógico suficientemente rico en el que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema. Con este teorema se demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización completa de la matemática propugnado por Hilbert y otros, ya que, según él, no puede existir una sistematización coherente de la misma tal que todo enunciado matemático verdadero admita demostración. Siempre habrá enunciados que no son demostrables ni refutables. Para probar esta aserción se sirvió de la matematización de la sintaxis lógica.

La Revolución Digital
Esta revolución se inicia con la invención de la computadora digital y el acceso universal a las redes de alta velocidad. Turing relaciona lógica y computación antes que cualquier computadora procese datos. Weiner funda la ciencia de la Cibernética. En las Escuelas modernas de Computación están presentes Lógicos que han permitido avances importantes como Hoare que presenta un sistema axiomático de los sistemas de programación y Dijkstra con un sistema de verificación y deducción de programas a partir de especificaciones.
·         Alan Turing
Matemático y  Lógico pionero en Teoría de la Computación que contribuye a importantes análisis lógicos de los procesos computacionales. Las especificaciones para la computadora abstracta que él idea -conocida como Máquina de Turing-, resulta ser una de sus más importantes contribuciones a la Teoría de la Computación. Turing además prueba que es posible construir una máquina universal con una programación adecuada capaz de hacer el trabajo de cualquier máquina diseñada para resolver problemas específicos. La Máquina de Turing es un intento para determinar si la matemática se puede reducir a algún tipo simple de computación. Su objetivo fué desarrollar la máquina más simple posible capaz de realizar computación. La máquina propuesta por Turing es un dispositivo relativamente simple, pero capaz de realizar cualquier operación matemática. Turing se ilusionó con la idea de que su máquina podía realizar cualquier proceso del cerebro humano, inclusive la capacidad de producir conciencia de uno mismo.
·         Norbert Weiner
El científico norteaméricano Norbert Weiner (1894-1964) en 1947 publica su libro más famoso: Cibernética, o control y comunicación en el animal y la máquina; en donde se utiliza por primera vez la palabra Cibernética. Existen muchas definiciones de Cibernética -del griego kybernetes, piloto-, y Norbert Weiner da vida a la palabra con una definición simple: La Cibernética es la ciencia que estudia la traducción de procesos biológicos a procesos que reproduce una máquina. Desde los inicios la Cibernética se relaciona directamente con ciencias como Neurología, Biología, Biosociología, Robótica e Inteligencia Artificial.
·         Luitzen Egbertus Jan Brouwer
Matemático y lógico alemán (1881-1966) conocido como LEJ Brouwer y fundador de la escuela de la Lógica intuicionista contrarrestando definitivamente el formalismo de Hilbert. Miembro del Significs Group son significativos sus trabajos Life, Art and Mysticism (1905) y Sobre la infiabilidad de los principios lógicos.

·         Alfred Tarski
Matemático y lógico y filósofo polaco (1902-1983). Emérito profesor de la University of California, Berkeley, realiza importantes estudios sobre álgebra en general, teoría de mediciones, lógica matemática, teoría de conjuntos, y metamatemáticas. El trabajo de Tarski5 incluye respuestas a la paradoja de Banach-Tarski, el teorema de la indefinibilidad de la verdad, las nociones de cardinal, ordinal, relación y es inductor de las álgebras cilíndricas.
·         Benoit Mandelbrot
El gran impulsor de la matemática contemporánea y pionero de la geometría fractal6 a quien la computación pura revela la moderna Geometría de la Naturaleza. Fractal y geometría fractal son el corpus principal de sus investigaciones además de los sistemas irreversibles. A la práctica totalidad de disciplinas se aplican hoy sus principios dando por sentado paradigmas como la Teoría del Caos que a finales del siglo XX ya contemplaba el estudio de sistemas dinámicos, irreversibles, caóticos.

La siguiente revolución lógica
La siguiente Revolución Lógica incorpora la fusión entre matemáticas y computación. Las computadoras tienden a explorar datos inteligentemente transfiriendo información de las bases de datos a las bases de conocimiento interconectadas a través de la Red a escala infinitesimal.
La lógica evoluciona pues como un gen hacia la culminación del conocimiento libre que nace del rigor formal de la Matemática griega; emerge renovadamente de etapas de persecución tan oscuras como la Edad Media y otros intentos más recientes; hasta el intercambio constante y continuo de datos en la moderna era de estructura de redes que Internet proporciona a modo neuronal a la Humanidad.

Lógicas no clásicas
Los sistemas lógicos no clásicos son aquellos que rechazan uno o varios de los principios de la lógica clásica. Algunos de estos sistemas son:
·         Lógica difusa: Es una lógica plurivalente que rechaza el principio del tercero excluido y propone un número infinito de valores de verdad.
·         Lógica relevante: Es una lógica para consistente que evita el principio de explosión al exigir que para que un argumento sea válido, las premisas y la conclusión deben compartir al menos una variable proposicional.
·         Lógica cuántica: Desarrollada para lidiar con razonamientos en el campo de la mecánica cuántica; su característica más notable es el rechazo de la propiedad distributiva.
·         Lógica no monotónica: Una lógica no monotónica es una lógica donde, al agregar una fórmula a una teoría cualquiera, es posible que el conjunto de consecuencias de esa teoría se reduzca.
·         Lógica intuicionista: Enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las transformaciones de las proposiciones.

Lógica modal
Sistema lógico que formaliza relaciones como las de “necesidad”, “realidad”, “posibilidad”, “casualidad” y sus negaciones (Modalidad). La primera tentativa de estructurar una lógica modal se debe a Aristóteles (Silogística), quien formuló algunos de los principios y definiciones más importantes de dicha lógica. Se dio un nuevo impulso a las investigaciones de la lógica modal gracias al desarrollo de la lógica matemática. El resultado fue que se estructuraron varios sistemas entre los cuales los más conocidos son: los sistemas trivalente y tetravalente de Jan Lukasiewicz; los sistemas axiomáticos de implicación rigurosa de Clarence Irving Lewis; los sistemas de la modalidad relativa de G. H. von Wright. En los sistemas de Lukasiewicz y de Lewis, las modalidades poseen carácter absoluto, es decir, se atribuyen a una proposición independientemente de otras proposiciones. En los sistemas de Wright, las modalidades son relativas, es decir, se asignan a una de las proposiciones si se da determinada condición que es expresada en una proposición diferente. De todos modos, hoy por hoy no existe ninguna teoría general de la lógica modal más o menos satisfactoria, pese a la necesidad que se observa de disponer de semejante teoría, elaborada, en varias ramas del saber (por ejemplo, en la matemática y en la lingüística).


Lógica deóntica

La Lógica deóntica, en 1951, Von Wright, creador de la lógica deóntica, introdujo los conceptos modales deónticos: lo obligatorio, lo permitido, lo prohibido; reflexionando análogamente la existencia de las modalidades posible, imposible y necesario; desde entonces, el término “deóntico” ha ido haciéndose común en el léxico filosófico.
La lógica deóntica. Es la lógica de las normas y de las ideas normativas. Es un tipo de lógica formal y se expresa que su desarrollo arranca con el descubrimiento de la similitud entre los conceptos deónticos y formales, fue creada específicamente para calificar a las normas.
Normas son, por ejemplo, los significados de las siguientes frases: “¡te ordeno que te calles, grosero!”, “prohibido el paso; perro agresivo puede atacar”, “todo ser humano es libre de expresar su pensamiento”.
A partir del operador “O” que significa “obligatorio” es posible calificar actos o proposiciones como obligatorios. Por ejemplo, el acto “pagar impuestos” que representaremos con el símbolo p, puede ser obligatorio: “O p”. O bien, la proposición “los impuestos se pagan” cuyo símbolo será p*, puede ser obligatoria: O p*. Algunos lógicos piensan que las normas resultantes no son ni verdaderas ni falsas, sino válidas o inválidas.
A partir del operador de obligación y de la negación lógica (que se escribe ¬) es posible definir los operadores de prohibición (V) y de permisión (P):
Op ≡ V¬p ≡ ¬P¬p
Y se lee: “Obligatorio p” si y solamente si “prohibido no” “p” si y solamente si “no permitido no p”.
La lógica deóntica estándar expresaría los ejemplos dados antes a través del lenguaje simplificado que acabamos de mencionar, aunque cierta información o matiz se pierdan: “¡te ordeno que te calles, grosero!” se expresaría diciendo simplemente “obligatorio callarse” u “obligatorio que haya silencio”; “prohibido el paso; perro agresivo puede atacar” se expresaría diciendo “prohibida la conducta de entrar” o “prohibido que haya alguien adentro”; “todo ser humano es libre de expresar su pensamiento” se expresaría diciendo “permitido el acto de expresar el propio pensamiento” o “permitido que sea expresado el propio pensamiento”. Algunos lenguajes deónticos más complejos pueden expresar rigurosamente nociones asociadas, como el concepto de sanción o amenaza de sanción o el concepto de derecho individual.
El operador de facultad se define: Mp ≡ Pp ^ P¬p.
Y se lee: “Posible p” si y solamente si “Permitido p y permitido no p”.
El operador de facultad parece más adecuado para expresar el último de los ejemplos. “Todo ser humano es libre de expresar su pensamiento” quedaría: “es facultativa la conducta de expresar el propio pensamiento” o “es facultativo que sea expresado el propio pensamiento” o, lo que es lo mismo, “están permitidas ambas conductas: expresar y no expresar el propio pensamiento”.


Lógica temporal
Es a mediados del siglo XX, a partir de la obra de Arthur Prior cuando la Lógica Temporal se desarrolla de manera considerable, construyéndose sistemas para representar distintos tipos de tiempo (tiempo lineal, tiempo infinito, tiempo ramificado,…). La creación de la semántica de mundos posibles facilitó enormemente la semántica de dichos sistemas. Estos sistemas han encontrado aplicación en muchos campos, siendo los más representativos la lingüística y la informática.
 Los sistemas de lógica temporal pueden tener una base de lógica proposicional o de primer orden. En ambos casos se añaden operadores para representar el pasado (P y H) y el futuro (F y G). También se pueden incluir operadores que representen intervalos. La semántica más habitual se basa en la noción de momento. Estos momentos se suceden por una relación de ulterioridad (antes/después). Así, si afirmo m0<m1 significa que el momento m0 es previo al momento m1. La relación de ulterioridad tendrá distintas propiedades dependiendo del tipo de tiempo que estemos tratando, aunque siempre será irreflexiva. Así, por ejemplo, si un tiempo es transitivo la relación de ulterioridad tendrá la propiedad transitiva y sintácticamente se introducirán los axiomas que representen la transitividad  
http://glossarium.bitrum.unileon.es/Home/logica-temporal

Lógica epistémica
La Lógica Epistémica da un tratamiento formal de las nociones de conocimiento y creencia de las que se ocupa el filósofo interesado en epistemología; ésta lógica es un caso particular de lógica modal; son también lógicas modales la lógica deóntica y la lógica doxástica. La lógica epistémica es una contribución de la lógica a la epistemología mas allá de ser una herramienta para caracterizar la noción de conocimiento. Proposiciones tales como "María sabe que Cervantes escribió el Quijote" y "Helen sabe que Shakespeare escribió Hamlet" simbolizadas en lógica proposicional como J y M son insuficientes para transmitirnos toda la riqueza de esas proposiciones. Sin embargo, con la lógica epistémica podemos simbolizar con mayor expresividad esas proposiciones y otras que hagan referencia al conocimiento de dos o más personas (conocimiento distribuido o conocimiento común). 

Lógica doxástica
La lógica doxástica (del griego antiguo δόξα, doxa, "creencia") es una lógica modal que se ocupa del razonamiento acerca de las creencias. Típicamente, una lógica doxástica utiliza una expresión para significar "el razonador c cree que p es verdadero", y el conjunto  se refiere al conjunto de creencias de c
Existe un paralelismo completo entre los razonadores que creen en proposiciones y los sistemas matemáticos que demuestran proposiciones.


Tipos de razonadores
Razonador preciso: Un razonador c es preciso si no cree en ninguna proposición falsa (axioma modal T). 
Razonador impreciso: Un razonador c es impreciso si existe al menos una proposición en la que cree y que no es verdadera.
Razonador presumido: Un razonador c es presumido, si cree que no es impreciso. Un razonador presumido necesariamente incurre en una imprecisión.
Razonador consistente: Un razonador c es consistente si no cree en una proposición y su negación (axioma modal D).
Razonador normal: Un razonador c es normal si siempre que cree p, cree también que cree p(axioma modal 4).
Razonador peculiar: Un razonador c es peculiar si existe alguna proposición p en la que cree, pero también cree que no cree p. Si bien un razonador peculiar puede parecer un fenómeno psicológico extraño, un razonador peculiar es necesariamente impreciso pero no necesariamente inconsistente.
Razonador regular: Un razonador c es regular si su creencia es distributiva sobre las operaciones lógicas (axioma modal K).
Razonador reflexivo: Un razonador c es reflexivo si para toda proposición p existe una proposición q tal que el razonador cree que. Y por lo tanto si un razonador reflexivo del tipo 4 cree que, entonces también creerá p. Este es un paralelismo del teorema de Löb para razonadores.
Razonador inestable: Un razonador c es inestable si existe alguna proposición p en la que c cree que cree, pero realmente no cree. Este es un fenómeno tan extraño como la peculiaridad. Sin embargo, un razonador inestable no necesariamente es inconsistente.
Razonador estable: Un razonador c es estable si no es inestable. O sea si para todo p, si cree que cree p entonces cree p. Notar que la estabilidad es lo opuesto de la normalidad.
Razonador modesto: Un razonador c es modesto si para toda proposición p cree que sólo si cree p. Un razonador modesto nunca cree  a menos que crea p. Por el teorema de Löb, todo razonador reflexivo del tipo 4 es modesto.
Razonador raro: Un razonador c es raro si es del tipo G y cree que es inconsistente, ¡pero se equivoca en su creencia!
Razonador tímido: Un razonador c es tímido si no cree en una proposición porque cree que creer en ésta implica creer en una contradicción.


No hay comentarios:

Publicar un comentario